夏天，日出时，美国得克萨斯州西部城市埃尔帕索的气温可能是20℃。到上午8点，天气会变得暖和一点儿。当太阳越升越高时，温度也会快速上升。正午过后，升温速度会慢下来。下午3点左右，温度会达到一天内的最高峰，约31℃。接下来，温度会一直保持在这个水平上，直到傍晚时分。夜间，温度又会不断下降。

“在任意一个时间点，埃尔帕索都只有一个确定的温度，换句话说，温度是时间的函数。”美国布法罗大学数学教授黛博拉·摩尔-拉索(Deborah Moore-Russo)说。在数学中，函数指的是关系，是一种事物的量的变化会导致另一种事物的量变化的关系。它们可以用方程的形式表达，也可以用图表的形式表现。比如画一条曲线，横轴代表一天的时间，纵轴代表温度。这条曲线代表了这两个变量温度和时间之间的关系，也就是他们的函数关系。在公式表达中，函数是自变量和因变量之间的关系。在上面的例子中，自变量是时间，因变量是温度。

如果数学关系是一个真实的函数，那么“每个自变量都有一个确定的因变量”,黛博拉·摩尔一拉索说。但是，在任意一个给定时间点，影响温度或者汽车速度的因素并不是唯一的。“很少会只是一个单一变量的函数，通常会有很多个自变量会影响因变量的结果。”了解各种变化以及他们之间的关系可以帮助科学家、工程师及其他研究人员了解更多信息，分析各种现象，而他们用到的工具正是微积分。

变化也有快慢

回想一下埃尔帕索那个温暖的夏日，除了温度在时刻变化，更重要的是，温度变化的速率也在不断变化着。这是因为许多因素在影响温度，它们共同作用的结果就是温度变化时快时慢。

我们可以在函数曲线上分析这种变化。选择这条曲线上的任意一小段(这一段越短越好),把它放大。“当你把它放得越来越大时，这一段曲线开始看起来像一条直线。”摩尔-拉索说。这条直线的斜率，叫作这一点的导数，可以用纵坐标和横坐标变化量的比值来计算。

当变化率也就是斜率为零时，这条直线会变得水平。这时候，曲线将达到它的最大值或最小值。因此，在一天内温度最高的时刻，温度的变化率为零。当然，在一天内温度最低的时刻，变化率也为零。

导数是一个重要的概念，它可以告诉你，这条曲线在那个点上将会发生什么。比如，这条线会随着时间或其他独立变量的增加而向上或向下倾斜，倾斜程度是锐利还是平缓，倾斜程度的大小代表在这一时刻发生的变化是快还是慢，斜率的正负决定了这条曲线将会递增还是递减。

物理学、经济学等学科中的许多重要概念都可以用导数来表示。导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度，对于距离一时间函数来说，某一点的导数指的是这一时间点的速度，而对于速度一时间函数来说，某一点的导数是这一时间点的加速度。

导数有很广泛的应用，其中之一就是可以表示经济学中的边际成本，也就是每增加一单位的产品，所带来的总成本增量，这个增量是一直在变化的。比如，在一个生产线上仅生产一辆汽车的成本是极其巨大的，而生产第101辆汽车的成本就低得多，生产第10001辆汽车的成本就更低了。越大的生产规模，分摊到每个产品的成本就越低。

变速运动物体走过的距离

现在我们回到文章最前面的公式：距离=速度x时间。我们可以计算非匀速运动情况下的距离了。

设想一下，你正在骑自行车。在骑行中的任何时刻，路况都会影响你的速度。在平坦、整洁的路面上，你可以骑得很快，下坡时，你可以骑得更快。但是，当你上坡或者在崎岖不平的路面上骑车时，速度就会降下来。

你可以画出这个函数，即一条轴表示时间，一条轴表示速度。现在，如果你想知道骑行过程中的任何一段时间内具体骑了多远，你可以用对应的这段曲线下的面积来表示。

计算这个面积的方法之一，就是用许多宽度相等的窄的长方形来近似估计。每个小长方形的面积都代表着一个非常短的时间和在这个时间段里的速度的乘积。最后再将一个个小面积相加起来，就是距离。时间段取得越短，算出来的结果就越精确。而如果把时间段取得极端的短，再用特别的方法求和，这就是积分。

积分的意思是累积。一个东西从一点变化到另一点，在这过程中增加(减少)了多少?这取决于变化率。“当一个东西增长得非常快，它正在快速地积累一些东西，不管你测量得到的结果是多少，”摩尔-拉索解释说。